Question

什么是齐次线性方程组的解空间？

Answer 1

齐次线性方程组的解空间的维数即基础解系所含向量的个数；即 n-r(A)

1、线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组(例如2元1次方程组)。对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中。

2、xj表未知量，aij称系数，bi称常数项。

3、称为系数矩阵和增广矩阵。若x1=c1，x2=c2，…，xn=cn代入所给方程各式均成立，则称(c1，c2，…，cn)为一个解。若c1，c2，…，cn不全为0，则称(c1，c2，…，cn)为非零解。若常数项均为0，则称为齐次线性方程组，它总有零解(0，0，…，0)。两个方程组，若它们的未知量个数相同且解集相等，则称为同解方程组。

4、线性方程组主要讨论的问题是:

①一个方程组何时有解。

②有解方程组解的个数。

③对有解方程组求解，并决定解的结构。

这几个问题均得到完满解决:所给方程组有解，则秩(A)=秩(增广矩阵);若秩(A)=秩=r，则r=n时，有唯一解;r<n时，有无穷多解;可用消元法求解。

5、当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解;解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有 ，即不一定有解。

6、克莱姆法则(见行列式)给出了一类特殊线性方程组解的公式。n个未知量的任一齐次方程组的解集均构成n维空间的一个子空间。

7、线性方程组有广泛应用，熟知的线性规划问题即讨论对解有一定约束条件的线性方程组问题。