Question

高一数:设a为实数，函数f(x)=x^2+|2x-a|+1(x属于R)

高一数:设a为实数，函数f(x)=x^2+|2x-a|+1(x属于R)
(1)讨论f(x)的奇偶性(详细过程）
（2）当a=2时，求f(x)的最小值

全部都要详细过程

Answer 1

(1)
f(-x)=(-x)^2+|-2x-a)|-1 =x^2+|2x+a|+1
-f(x)=-x^2-|2x-a|-1

当a=0时，f(-x)=x^2+|2x|+1,-f(x)=-x^2-|2x|-1
f(x)=f(-x)=-f(x),f(x)既是奇函数也是偶函数

当a≠0时，f(x)≠f(-x)≠-f(x),f(x)非奇非偶
(当f(x)=f(-x)时f(x)为偶函数,当f(x)=-f(-x)时f(x)为奇函数)

（2）
若a=2，f(x)=x^2+|2x-a|+1=x^2+2|x-1|+1

当x≥1时，f(x)=x^2+2|x-1|+1=x^2+2（x-1）+1=（x+1)^2-2
又函数f(x)=（x+1)^2-2对称轴为x=-1，且为下凸（即开口向上）函数，
故f(x)在x=-1右边为增函数，
当x≥1，f(x)有最小值f(1),f(1)=2；

当x≤1时，f(x)=x^2+2|x-1|+1=x^2-2（x-1）+1=（x-1)^2+2
又函数f(x)=（x-1)^2+2对称轴为x=1，且为下凸函数，
其在R范围内有最小值f(1),f(1)=2

综上，当a=2时，f(x)有最小值2.