Question

抛物线的最大值和最小值怎么求？

Answer 1

要求解抛物线的最大值和最小值，可以通过以下步骤进行：

1. 确定抛物线的方程。假设抛物线的方程是 y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是常数。

2. 计算抛物线的顶点坐标。抛物线的顶点坐标可以通过以下公式得到：x = -b / (2a)，y = f(x)（将 x 带入方程计算得到）。

3. 判断抛物线的开口方向。当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

4. 如果抛物线开口向上，顶点为最小值点；如果抛物线开口向下，顶点为最大值点。

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抛物线的最大值和最小值在实际应用中的应用

1. 最优化问题：在数学和工程领域，我们常常需要找到一个函数的最大值或最小值来解决最优化问题。抛物线的最大值和最小值可以用于确定某个变量的最优取值，例如成本最小化、收益最大化等问题。

2. 物理学：在物理学中，抛物线的最大值和最小值与运动的轨迹有关。例如，当我们投掷一个物体时，其轨迹可以用抛物线表示，而最大值和最小值对应着物体的最高点和最低点。

3. 经济学：在经济学中，抛物线的最大值和最小值可以用于分析成本、收入、供需关系等。例如，通过分析成本曲线的最小值，可以确定最低成本生产量；通过分析收入曲线的最大值，可以确定最大收益点。

4. 建筑设计：在建筑设计中，抛物线的最大值和最小值可以用于确定结构的最优形状。例如，在拱桥的设计中，通过分析抛物线的最大值，可以确定最大承载能力的位置。

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抛物线最大值和最小值的例题

题目：考虑抛物线 y = -2x^2 + 4x + 3，请求出该抛物线的最大值和最小值，并指出它们所对应的点。

解答：

1. 确定抛物线的方程：y = -2x^2 + 4x + 3

2. 计算顶点坐标：

根据公式 x = -b / (2a)，其中 a = -2，b = 4，

x = -4 / (2 * (-2)) = 1

将 x = 1 代入方程计算得到 y 坐标：

y = -2(1)^2 + 4(1) + 3 = 5

所以，抛物线的顶点为 (1, 5)。

3. 判断抛物线开口方向：

由于 a = -2，所以抛物线开口向下。

4. 最小值点和最大值点：

在本例中，顶点就是抛物线的最大值点，即最大值为 5，对应坐标为 (1, 5)。而因为抛物线是开口向下的，所以没有最小值。

综上所述，该抛物线的最大值为 5，对应坐标为 (1, 5)。