Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,an=2(根号Sn)-1,数列{bn}满足b1=2,bn=2b(n-1)

已知数列{an}的前n项和为Sn,an=2(根号Sn)-1,数列{bn}满足b1=2,bn=2b(n-1)
令，cn=an*bn求数列{cn}的前项和 [n为下标]

Answer 1

解：（过程中"^"符号表示乘方符号）

由题意知：an=2√Sn-1，所以Sn=(an+1)^2/4…①

从而S(n-1)=[a(n-1)+1]^2/4…②

①-②得：Sn-S(n-1)={(an+1)^2-[a(n-1)+1]^2}/4

又an=Sn-S(n-1)，代入上式得an={(an+1)^2-[a(n-1)+1]^2}/4

化简整理得(an-1)^2=[a(n-1)+1]^2…③

又由an=2√Sn-1知：a1=2√Sa1-1，a1=1
易知an＞0,从而由③得an-1=a（n-1)+1，即an-a（n-1)=2
由此可见{an}是首项a1=1，公差为2的等差数列，故an=2n-1；

由题意:bn=2b(n-1)有：bn/b(n-1)=2，从而{bn}是首项b1=2，公比为2的等比数列，故bn=2^n

故cn=an*bn=（2n-1)2^n

从而数列{cn}的前项和
Tn=c1+c2+...+cn=a1*b1+a2*b2+...+an*bn
=1*2+3*2^2+5*2^3+...+(2n-1)*2^n

即：Tn=1*2+3*2^2+5*2^3+...+(2n-1)*2^n…④
④式两边同时乘以2，得：
2Tn=1*2^2+3*2^3+5*2^4+...+(2n-1)*2^(n+1)…⑤
⑤-④得：
Tn=-2-(2*2^2+2*2^3+2*2^4+...+2*2^n)+(2n-1)*2^(n+1)
=-2-2^3*[2^（n-1)-1]+(2n-1)*2^(n+1)
=(2n-3)*2^(n+1)+6