Question

用数学建模解决山体滑坡问题

山体滑坡与山坡地土质结构 气候 植被有关 也与坡度有关 请在土质气候给定的情况下对山坡坡度与滑坡的关系建立数学模型 并给出一个实例 建立滑坡的预警机制 并进一步讨论土质气候因素

Answer 1

假设：
1 土质、气候、植被等条件一定，即滑坡关系与这些因素没有直接联系，仅与坡度有关，且不受地震的影响。
2 山坡模型连续不间断，即是一个连续的曲面。
3 将山上物体看作质点，不考虑其体积和表面的形状，只考虑它们的质量。

建模：
由物体平衡的条件：f+F=Gsin
由物体黏度F=a*k*dv\dx 其中a为接触面积，k为黏度系数，v为相对速度，x为物体间的平均距离。
t为物体加速到v的时间，h为这段时间内物体下滑的距离。
mgsin =µmg cos + a*k*dv\dx
dv=mg(µcos - sin )dx\a*k
v= mg(µcos - sin )*x\a*k
由动能定理： 0.5mv²=mgh-(µmgcos + a*k*v\x)vt
将v= mg(µcos - sin )*x\a*k 代入上式：求解 。
得：
=0.5arccos[4mgxha²k²-2µ²aktm²g²x²-µ²m²g²x²(mx+2akt)]-0.5Φ
其中：tgΦ=[2µ(mx+2akt)+2µakt]\[2µ²mx+6µ²akt-(mx+2akt)]

分析：
但在实际情况中：
t→0,且h→0,故： =0.5arccos(µ²m²g³x³)-0.5Φ
此时：tgΦ=2µ\(2µ²-1)
上式中x是影响滑坡角度的重要因素，当x增大时 减小，即滑坡的临界角减小，是危险增加。而x表示的是物体间的平均间距，土石间的间隙越大，山体就越有滑坡的可能。而间隙的大小又与许多其它因素有直接关系，接下来我们就讨论一下。

1. 天气： 当天气下雨会使土地的湿度增加，泥土的黏度变小临界坡度减小， 山坡坡面土层在暴雨的浸润击打下，土体失稳，沿斜坡下滑并与水体混 合，侵蚀下切而形成悬挂于陡坡上的坡面泥石流。
2. 土质：土质松软，颗粒之间的间隙较大，临界坡度减小。
3. 植被：植被有益于增加土地的依附，增进土地的黏度，防止山体滑坡。
4. 人为影响：破坏植被，开凿、爆破山体等人为活动都会诱发山体滑坡。

实例和预警机制：定期派人测量当地土质，测量数据，并在天气预报中发布报告，尤其是出现降雨和地震时提高警惕。当发现危险时，政府及时组织当地居民疏散撤离。