Question

三角形ABC内部有一点P,使角PAB=10度,角PBA=20度,角PCA=30度,角PAC=40度,证明:三角形ABC使等腰三角形

Answer 1

一、辅助线：
1、过A点做射线AX使∠PAX = 10°，∠CAX = 30°；
2、过B点做射线BY使∠PBY= 20°，交PX于点M，交AC于点N。

二、证明：
1、由原题得知：∠APB = 150°，∠APC = 110°，∠BPC = 100°；

2、∠BAP = ∠MAP =10°，∠ABP = ∠MBP =20°，得出P点是△ABM内心，
所以∠AMP = ∠BMP =60°，推出∠BPM =100°=∠BPC，所以点M在PC上。

3、由以上推出∠BMP = ∠PMA =∠AMN = ∠NMC=60°，∠CAM = ∠ACM =30°
可以推出AN=CN且BN⊥AC；

4、所以AB=AC，△ABC是等腰三角形。

Answer 2

由原题得知：∠APB = 150°，∠APC = 110°，∠BPC = 100°；

2、∠BAP = ∠MAP =10°，∠ABP = ∠MBP =20°，得出P点是△ABM内心，
所以∠AMP = ∠BMP =60°，推出∠BPM =100°=∠BPC，所以点M在PC上。

3、由以上推出∠BMP = ∠PMA =∠AMN = ∠NMC=60°，∠CAM = ∠ACM =30°
可以推出AN=CN且BN⊥AC；

4、所以AB=AC，△ABC是等腰三角形。

Answer 3

一、辅助线：
1、过A点做射线AX使∠PAX = 10°，∠CAX = 30°；
2、过B点做射线BY使∠PBY= 20°，交PX于点M，交AC于点N。

二、证明：
1、由原题得知：∠APB = 150°，∠APC = 110°，∠BPC = 100°；

2、∠BAP = ∠MAP =10°，∠ABP = ∠MBP =20°，得出P点是△ABM内心，
所以∠AMP = ∠BMP =60°，推出∠BPM =100°=∠BPC，所以点M在PC上。

3、由以上推出∠BMP = ∠PMA =∠AMN = ∠NMC=60°，∠CAM = ∠ACM =30°
可以推出AN=CN且BN⊥AC；

4、所以AB=AC，△ABC是等腰三角形。