Question

已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，E是CD上一点（不与C、D重合），连结AE，过点B作BF⊥AE，垂中为F

若DE＝2，求cos∠ABF的值；
设AE＝x, BF=y,
求y关于x的函数解析式，写出自变量x的取值范围；
②问当点E从D运动到C，BF的值在增大还是减小？说明理由。
当三角形AEB为等腰三角形时，求BF的长。
要具体过程

Answer 1

角DAE=角ABF 所以当DE=2时,cos∠ABF=√13/3
由上可知:x/5=3/y,所以y=f(x)=15/x.
x属于(2,√34)
第二问,减小,因为由第一问的函数可知,x越小,y越大,而E从D运动到C,x一直在增大(这个就不解释了-.-)
有两种情况,
一,AB=BE,则BE=5,则CE=4,DE=1,AE=√26,BF=15/√26=15√26/26
二,AB=AE=5,则BF=15/4
三,AE=BE,E为CD中点,则DE=2.5,AE=√15.25,所以BF=15/√15.25=30√61/61

顺便说一下,分数好少,纯属帮忙,算的比较快,计算要是有错误的话请原谅哦,祝学习进步~!

Answer 2

解：（1）∵BF⊥AE，
∴∠FBA+∠FAB=90°，
∵∠DAE+∠EAB=90°，
∴∠FBA=∠EAD，
∵△ABF∽△EDA
∵DE=2，AD=3，
∴AE=13，
∴cos∠ABF=BFAB=ADAE=3
1313；

（2）根据（1）可知：
①5x=y3即y=15x，3＜x＜
34；
②减小，因为y=15x中，y随x的增大而减小；

（3）当△AEB为等腰三角形时，有3种情况：
a、当AB=BE时，则BE=5，则CE=BE2-BC2=4，∴DE═5-4=1，
∴AE=AD2+DE2=10，
∴AF=102，
∴BF=3
102；
b、当AE=BE时，E为CD中点，则DE=2.5，AE=612，
∵AD•AB=BF•AE，
∴3×5=BF×612，
∴BF=30
6161；
c、当AB=AE=5时，△ABF∽△AED，则BF=AD=3．
所以BF的值为：3
102或 30
6161或3