Question

若实数满足a+b+c=0，用反证法证明

若实数满足a+b+c=0（a,b,c不全为0），用反证法证明ab+bc+ca小于0.

Answer 1

证明：假设ab+bc+ca>0
故2ab+2bc+2ac>0
a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)>0
∵a+b+c=0
b+c=-a
a+c=-b
a+b=-c
原式=-a^2-b^2-c^2>0
∵a^2,b^2,c^2都大于等于0
∴-a^2,-b^2,-c^2都小于等于0
矛盾
故ab+bc+ca小于0

Answer 2

假设a+b+c不等于0即a+b+c大于或小于0 即里面或全是正的 全是负的 两负1正
两正一负 所以ab+bc+ca大于0 不符题意 所以原命题正确

Answer 3

假设ab+bc+ca大于等于0.
(a+b+c)^2
=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0
a,b,c不全为0
a^2+b^2+c^2>0
2(ab+bc+ca)》0
与假设矛盾，
所以
ab+bc+ca小于等于0

Answer 4

假设ab+bc+ca≥0.
∵a+b+c=0
∴（a+b+c）²=0
∴a²＋b²＋c²＋2ab＋2ac＋2bc=0
∴a²＋b²＋c²=-（2ab＋2ac＋2bc）
由ab+bc+ca≥0
a²＋b²＋c²≤0
显然不可能
所以ab+bc+ca≤0.