Question

等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD垂直BC于D，CG‖AB,BG分别交AD,AC于E,F.求证：BE×BE＝EF×EG

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Answer 1

连接CE
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵AD⊥BC
∴BD=CD（等腰三角形底边的垂线是中线、角平分线）
∴AD是BC的垂直平分线
故：BE=CE
在△ABE和△ACE中
∵AB=AC，BE=CE，AE=AE
∴△ABE≌△ACE
∴∠ABE=∠ACE
∵CG‖AB
∴∠ABE=∠CGE
∵∠ABE=∠ACE
∴∠ACE=∠CGE
在△CEF和△CEG中
∵∠FEC=∠GEC，∠FCE=∠CGE
∴△CEF∽△CEG
∴CE/EG=EF/CE，CE^2=EF×EG
∵CE=BE
∴BE^2=EF×EG

Answer 2

证明：连结CE，
因为 AB=AC，AD垂直于BC于D，
所以 AD垂直平分BC，
所以 BE=CE，
又因为 AB=AC，AE=AE，
所以 三角形ABE全等于三角形ACE，
所以 角ABE=角ACE，
因为 CF//AB，
所以 角ABE=角F，
所以 角ACE=角F，
又因为 角CFG=角FEC（公共角）
所以 三角形CEG相似于三角形FEC，
所以 EG/CE=CE/EF，
即： CE的平方=EG乘EF，
因为 BE=CE，
所以 BE的平方=EG乘EF。