Question

证明：矩阵A与A的转置A'的乘积的秩等于A的秩，即r(AA')=r(A).

一个线性代数问题。

Answer 1

设 A是 m×n 的矩阵。

可以通过证明 Ax=0 和A'Ax=0 两个n元齐次方程同解证得 r(A'A)=r(A)

1、Ax=0 肯定是 A'Ax=0 的解，好理解。
2、A'Ax=0 → x'A'Ax=0 → (Ax)' Ax=0 →Ax=0

故两个方程是同解的。

同理可得 r(AA')=r(A')
另外 有 r(A)=r(A')

所以综上 r(A)=r(A')=r(AA')=r(A'A)

Answer 2

这个样子可能可以：
A=PEQ 其中E是A的标准型,P,Q为可逆矩阵
那么A'=Q'E'P';
所以AA'=PEQQ'E'P';
设QQ'=(X Y)
(Z W)
其中X为r*r的矩阵且其轶也为r，因为它是可逆矩阵的一个分块。
所以上式可以化简为：
AA'=P(X O)Q
(0 0)
而PQ都是可逆的，所以
r(AA')=r(X O)
(0 0)
所以它就等于r。
可能看起来比较不爽，可是我也打不出来比较好的效果，凑和看吧。
也可能有比较简单的方法。就这样吧。