Question

高分求解一道概率论（期望）的题目，对者追加100分！

将n只球（1-n号）随即地放进n只盒子（1-n号）中去，一只盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为总配对数，求E（X）。
注：需要详细的解题步骤。谢谢!

Answer 1

以下式子中nC1就是n个取1个的组合数。
可以递推一下：
X=0：P=(n-1/n)*(n-2/n-1)*(n-3/n-2)*……*(1/2)*1=(1/n)
X=1: P=nC1*(1/n)*[(n-2/n-1)*(n-3/n-2)*……*(1/2)*1]=(1/n-1)
X=2: P=nC2*(1/n)*(1/n-1)*[(n-3/n-2)*(n-4/n-3)*……*(1/2)*1]=(1/2n-2)
X=3: P=nC3*(1/n)*(1/n-1)*(1/n-2)*[(n-4/n-3)*(n-5/n-4)*……*(1/喊搭2)*1]=(1/6n-18)
……
设m为小斗渗春于n-1的整数，则：
X=m: P=nCm*(1/n)*(1/n-1)*(1/n-2)*……*(1/n-m+1)*[(n-m-1/n-m)*(n-m-2/n-m-1)*……*(1/2)*1]=[1/m!(n-m)]
X=n-1: P不存在
X=n: P=(1/n)*(1/n-1)*(1/n-2)*……空耐*(1/2)*1=(1/n!)
所以：
E(X)=∑[m/m!(n-m)] m=0,1,2,3……(n-2)
再加上[1/(n-1)!]

不保证正确。

Answer 2

1/n + 2/（n平方）+...+ n/(n的n次方)