Question

求不定积分∫xln(x+1)dx

要求全过程.越详细越好.谢谢!!

Answer 1

∫xln（x-1）dx=x^2/2*
ln(x-1)-x^2/4-x/2-ln(x-1)/2+C。
解答过程如下：利用分部积分法可求得
∫xln（x-1）dx
=1/2x²ln(1+x)-1/2[x²/2-x+ln(1+x)]+C∫x
ln(x-1)dx=x^2/2*
ln(x-1)-∫x^2/2ln(x-1)'dx
=x^2/2*
ln(x-1)-∫x^2/2(x-1)dx
=x^2/2*
ln(x-1)-∫(x^2-x)/2(x-1)dx-∫x/2(x-1)dx
=x^2/2*
ln(x-1)-∫x/2dx-∫x/2(x-1)dx
=x^2/2*
ln(x-1)-x^2/4-∫x/2(x-1)dx
=x^2/2*
ln(x-1)-x^2/4-∫(x-1)/2(x-1)dx-∫1/2(x-1)dx
=x^2/2*
ln(x-1)-x^2/4-∫1/2dx-∫1/2(x-1)d(x-1)
=x^2/2*
ln(x-1)-x^2/4-x/2-∫1/2(x-1)d(x-1)
=x^2/2*
ln(x-1)-x^2/4-x/2-ln(x-1)/2+C
扩展资料
分部积分法两个原则
1、相对来说，谁易凑到微分后面，就凑谁；
2、交换位置之后的积分容易求出。
经验顺序：对，反，幂，三，指
谁在后面就把谁凑到微分的后面去，比如，如果被积函数有指数函数，就优先把指数凑到微分的后面去，如果没有就考虑把三角函数凑到后面去，在考虑幂函数。
当然，对数函数和反三角函数，这两个函数比较难惹，你千万不要动它。需要注意的是经验顺序不是绝对的，而是一个笼统的顺序，掌握两大原则更重要。

Answer 2

用分部积分公式
∫xln(x+1)dx=x^2ln(x+1)-∫[xln(x+1)+x^2/(x+1)]dx=x^2ln(x+1)-∫xln(x+1)dx-∫x^2/(x+1)dx……（1）
∫x^2/(x+1)dx=∫[(x+1)-2+1/(x+1)]dx=x^2/2-x+ln(x+1)+c
令∫xln(x+1)dx=y
由（1）式得y=x^2ln(x+1)-y-[x^2/2-x+ln(x+1)]
解出y=[x^2ln(x+1)]/2-[x^2/2-x+ln(x+1)]/2=-x^2/4+x/2-(x^2-1)[ln(x+1)]/2

Answer 3

∫xln(x+1)dx
＝∫ln(x+1)d(1/2*x^2)
＝1/2×x^2×ln(x+1)－1/2×∫x^2dln(x+1)
＝1/2×x^2×ln(x+1)－1/2×∫x^2/(x+1)dx
＝1/2×x^2×ln(x+1)－1/2×∫[x-1+1/(x+1)]dx
＝1/2×x^2×ln(x+1)－1/2×[1/2×x^2－x＋ln(x+1)]＋C
＝1/2×(x^2－1)×ln(x+1)－1/4×(x^2－2x)＋C

Answer 4

【xlnx】′=1+lnx
所以对lnx积分=xlnx
-x
【x²lnx】=2xlnx+x所以对2xlnx积分=x²lnx-x²/2
∫xln(x－1）dx
=∫【（x-1）ln(x-1)+ln(x-1)】d（x-1）
分别积分
=0.5*（x-1）²ln(x-1)-0.25（x-1）²
+
（x-1）ln(x-1)-（x-1）+C
可以展开。思路就是这样。
或者xln(x-1)dx
=
1/2
ln(x-1)d(x²)
∫xln(x－1)dx
=1/2∫ln(x－1)d(x²)
=1/2【x²ln(x-1)-
∫x²*[1/(x-1)]dx】
1/2∫x²*[1/(x-1)]dx
=
1/2∫[x+1+1/(x-1)]dx
=
1/4x²+x/2+1/2ln(x-1)+
C
希望对你有帮助O(∩_∩)O~
强调一点，这里的x-1不能带绝对值，因为定义域就是x-1>0的。带绝对值扩大定义域了。

Answer 5

分部积分法：∫xln(x－1）dx
=1/2∫ln(x－1）dx^2
=1/2x^2*ln(x－1）-∫1/2*x^2/(x-1)dx
=1/2x^2*ln(x－1）-1/4
*x^2-1/2x
-ln(x－1）+C
其中
：∫1/2*x^2/(x-1)dx
分子-1，然后+1
，平方差公式，就容易积分，具体你自己去算算。