Question

证明：向量组a1,a2,...as(s>=2)线性无关的充分必要条件是a1,a2,...as中任意k(1<=k<=s)个向量都线性无关。

Answer 1

充分性
a1,a2,...as中任意k(1<=k<=s)个向量都线性无关。
假设a1,a2,...as是相关的，那么必定存在一组数m1.m2,m3,...ms
使得m1*a1+m2*a2...+msas=0
任意取两组向量a1,a2,a3,..ak 和
因为
a1,a2,...ak线性无关，则对于
k1*a1+k2*a2...+kkak=0
k1=k2=k3=...kk=0
所以对于剩下的ak-1,...as，
前面系数mk-1,...ms只能均为零
再考虑到任意性，
所以必须是 向量组a1,a2,...as(s>=2)线性无关

必要性:
向量组a1,a2,...as(s>=2)线性无关
则有对于方程
k1*a1+k2*a2...+kkak=0
显然只有当k1=k2=k3=...kk=0时才成立
所以取出其中任意的k个向量，

要满足任意的，显然他们前面系数只能为0 ，
则为线性无关的
其实这个证明就是向量组无关，那么他的子集向量也是无关的

参看
http://www.cwnu.edu.cn/jpkc/06gdsx/teachonline/content/xxds/ja/3/x3-3.htm
定理3和推论4