Question

已知函数f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,试求f(x)的解析式

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Answer 1

解：由f(0)=0得c=0,由f(x+1)=f(x)+x+1得a(x+1)^2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,得ax^2+(2a+b)x+a+b=ax2+bx+x+1比较系数得2a+b=b+1、a+b=1,得a=b=1/2,所以f(x)=(x^2)/2+x/2

Answer 2

f(0)=c=0.所以c=0,则f(x)=ax^2+bx

f(x+1)=a(x+1)^2+bx+b=ax^2+2ax+a+bx+b=f(x)+2ax+a+b

所以2a=1,a+b=1
a=1/2,b=1/2
所以f(x)=1/2x^2+1/2x

Answer 3

f(0)=c=0
f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c
=f(x)+x+1
=ax2+bx+x+1

得2a=1
a+b=1

a=b=1/2

Answer 4

f(x)=ax2+bx+c，且f(0)=0,代入得
0=c
f(x+1)=f(x)+x+1=ax^2+bx+c+x+1
而f(x+1)=a（x+1)^2+b(x+1)+c
比较俩式的x各项系数得
2a+b=b+1
a+b=1
则a=1/2,b=1/2
所以综合得a=1/2,b=1/2，c=0
解析式为f(x)=1/2*x^2+1/2*x