Question

高中数学不等式题（3）

设x，y∈R＋ 且（1/x）+（9/y）=1，则x+y的最小值为?

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Answer 1

法一：由于（1/x）+（9/y）=1，所以
x+y=x*1+y*1=x*[(1/x)+(9/y)]+y*[(1/x)+(9/y)]=10+(9x/y+y/x)
>=10+2*sqrt[(9x/y)*(y/x)]=16。
因此，x+y的最小值是16。
当且仅当(9x/y)=(y/x)，也就是y=3x的时候上式取等号，此时将y=3x代入（1/x）+（9/y）=1可得x=4，y=12。

法二：根据（1/x）+（9/y）=1，可得x=y/(y-9)，于是：
x+y=y+y/(y-9)=(y^2-8y)/(y-9)=[(y-9)^2+10(y-9)+9]/(y-9)
=(y-9)+9/(y-9)+10>=2*sqrt{(y-9)*[9/(y-9)]}+10=16。
亦即x+y的最小值是16。
当且仅当(y-9)=9/(y-9)，亦即y=12，x=y/(y-9)=4的时候，上式取等号。

法三：由于x、y都是正实数，故根据柯西不等式，有：
（x+y）[(1/x)+(9/y)]>=[sqrt(x)*sqrt(1/x)+sqrt(y)*sqrt(9/y)]^2=16，
所以x+y>=16，即它的最小值是16。
当且仅当sqrt(x)/sqrt(1/x)=sqrt(y)/sqrt(9/y)，即y=3x的时候，上式取等号。此时代入（1/x）+（9/y）=1可得x=4，y=12。

法四：因为（1/x）+（9/y）=1，所以可令
（1/x）=(sinA)^2，（9/y）=(cosA)^2，于是根据三角代换，有：
x=1/[(sinA)^2]=[1+(tanA)^2]/(tanA)^2，
y=9/[(cosA)^2]=9*(secA)^2=9*[(tanA)^2+1]，
因此x+y=[1+(tanA)^2]/(tanA)^2+9*[(tanA)^2+1]
=10+[9*(tanA)^2+1/(tanA^2)]>=10+2*sqrt{[9*(tanA)^2]*[1/(tanA^2)]}=16。
因此x+y的最小值是16，当且仅当9*(tanA)^2=1/(tanA^2)，也就是
(tanA^2)=1/3时上式取等号。这时有
x=1/[(sinA)^2]=[1+(tanA)^2]/(tanA)^2=4，
y=9/[(cosA)^2]=9*(secA)^2=9*[(tanA)^2+1]=12。

Answer 2

解:x+y=(x+y)[(1/x)+(9/y)]=10+(9x/y)+(y/x)>=10+2*3=16

Answer 3

（1/x+9/y）（x+y）=1+y/x+9x/y+9=10+y/x+9x/y
>=10+2*3=16
所以x+y>=16
即最小值为16 此时y/x=9x/y,得x=4,y=12
用的是重要不等式的知识。