Question

已知函数f（x）＝x^2-（a+2）x+alnx.其中常数a＞0.求fx的单调区间

Answer 1

问题应该还没打完吧！
（1）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当a=4时，是否存在实数m，使得直线6x+y+m=0恰为曲线y=f（x）的切线？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；
（3）设定义在D上的函数y=h（x）的图象在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0时，若
h(x)−g(x)
x−x0
＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．当a=4，试问y=f（x）是否存在“类对称点”？若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）∵f（x）=x2-（a+2）x+alnx，
∴f′(x)＝2x−(a+2)+
a
x
＝
2x2−(a+2)x+a
x
＝
(2x−a)(x−1)
x
，其中x＞0，
令f'（x）=0，得x=1或x＝
a
2
．
∵a＞2，∴
a
2
＞1．
当0＜x＜1及x＞
a
2
时，f'（x）＞0；
当1＜x＜
a
2
时，f'（x）＜0；
∴f（x）的单调递增区间为(0，1)，(
a
2
，+∞)．
（2）当a=4时，f(x)＝x2−6x+4lnx，f′(x)＝2x+
4
x
−6，其中x＞0，
令f′(x)＝2x+
4
x
−6＝−6，方程无解，
∴不存在实数m使得直线6x+y+m=0恰为曲线y=f（x）的切线．
（3）由（2）知，当a=4时，函数y=f（x）在其图象上一点P（x0，f（x0））处的切线方程为y＝m(x)＝(2x0+
4
x0
−6)(x−x0)+
x
2
0

−6x0+4lnx0，
设ϕ(x)＝f(x)−m(x)＝x2−6x+4lnx−(2x0+
4
x0
−6)(x−x0)−(
x
2
0

−6x0+4lnx0)，
则φ（x0）=0．
ϕ′(x)＝2x+
4
x
−6−(2x0+
4
x0
−6)＝2(x−x0)(1−
2
xx0
)＝
2
x
(x−x0)(x−
2
x0
)
若x0＜
2
，ϕ(x)在(x0，
2
x0
)上单调递减，
∴当x∈(x0，
2
x0
)时，φ（x）＜φ（x0）=0，此时
ϕ(x)
x−x0
＜0；
若x0＞
2
，ϕ(x)在(
2
x0
，x0)上单调递减，
∴当x∈(
2
x0
，x0)时，φ（x）＞φ（x0）=0，此时
ϕ(x)
x−x0
＜0．
∴y=f（x）在(0，
2
)∪(
2
，+∞)上不存在“类对称点”．
若x0＝
2
，ϕ′(x)＝
2
x
(x−
2
)2＞0，
∴φ（x）在（0，+∞）上是增函数，
当x＞x0时，φ（x）＞φ（x0）=0，
当x＜x0时，φ（x）＜φ（x0）=0，故
ϕ(x)
x−x0
＞0．
即此时点P是y=f（x）的“类对称点”
综上，y=f（x）存在“类对称点”，
2
是一个“类对称点”的横坐标．