Question

已知函数f(x)=-x^2+ax+b^2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有

已知函数f(x)=-x^2+ax+b^2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立，若当x∈[-1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是（ ）
A.-1<b<0 B.b>2 C.b<-1或b>2 D.不能确定

Answer 1

f(1-x)=f(1+x)
对称轴为x=1,a=2
f(x)=-x^2+ax+(b-1)²

x∈[-1,1]时，f(x)>0恒成
f(-1)＞0
b>2或b<-1

Answer 2

对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x),
f[x]图象关于x=1对称,
a/2=1,
a=2.
f(x)=-x^2+2x+b^2-b+1
=-(x-1)^2+b^2-b+2.
抛物线开口向下,对称轴x=1,
f(-1)>0就行了.
即b^2-b-2>0,
b<-1或b>2.
∴选C.

Answer 3

f(0)=f(2)
a=2
f(x)=-(x-1)^2+b^2-b+2
由于x∈[-1,1]在x=1左边，且该抛物线开口向下，所以该段是增函数，于是当其取最小值的时候仍然大于0，就可以保证其所有取值都大于0，此时x=-1
代入求得C