Question

已知函数f(x)=(x^2+x)(x^2+ax+b),若对任意的实数x,均有f(x)=f(2-x)

已知函数f(x)=(x^2+x)(x^2+ax+b),若对任意的实数x,均有f(x)=f(2-x)已知函数f(x)=(x^2+x)(x^2+ax+b),若对任意的实数x,均有f(x)=f(2-x),求f(x)的最小值，怎么做我懂，我只想知道原式化简成(x-1)(2x^2-4x+3)的具体过程！

Answer 1

f(x)=f(2-x),函数图像关于x=1对称，为轴对称图形
f(0)=0=f(2)=6(4+2a+b)→2a+b=-4
f(3)=12(9+3a+b)=f(-1)=0→3a+b=-9
∴a=-5 b=6
f(x)=(x²+x)(x²-5x+6)=x⁴-4x³+x²+6x
f'(x)=4x³-12x²+2x+6=2(2x³-6x²+x+3)
2x³-6x²+x+3
=2x³-2x²-4x²+4x-3x+3
=2x²(x+1)-4x(x+1)-3(x+1)
=(x-1)(2x²-4x-3)
∴f'(x)=(x-1)(4x²-8x-6)=2(x-1)(2x²-4x-3)

(亦可以先观察导函数4x³-12x²+2x+6的系数，确定x=1是其中一个驻点，
令导函数=(x-1)(4x²+bx+c)=2x³-6x²+x+3,用待定系数法求出b=-8，c=-6）

Answer 2

括号里面的分别相成，然后提出共有的因式