Question

线性代数，正交变换化二次型成标准形，问题如图，求详细说下，谢谢！

Answer 1

这个问题很好解决
你只要把正交变换的矩阵中的列向量（即与特征值对应的特征向量）交换位置就行，
比如正交变换的矩阵中的列向量P=(a1,a2,a3), a1,a2,a3分别对应特征值λ1,λ2,λ3
则经过正交变换后所得的标准型就是
f=λ1y1^2+λ2y2^2+λ3y3^2
而如果正交变换的矩阵中的列向量P=(a2，a1,a3),
则经过正交变换后所得的标准型就是
f=λ2y1^2+λ1y2^2+λ3y3^2

追问

把2次形化为标准形，一般都是用特征值带到f中？那通过正交变换推出标准形是怎么推的？谢谢

追答

1、写出二次型的矩阵A；
2、求出A的特征值和对应的特征向量；
3、利用施密特正交化方法将特征向量正交化，再单位化，得到一组单位正交向量组；
4、以这组向量为列向量构造矩阵P，则P就是一个正交矩阵，也就是正交变换的系数矩阵；
5、此时必有PTAP=diag(λ1,λ2,...,λ3)，这里的特征值λ1,λ2,...,λ3与P中的特征向量相对应。
此时就有二次型f=λ1y1^2+λ2y2^2+...+λnyn^2

Answer 2

我们老师说最后标准型系数的顺序不重要…