Question

如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是边AD,BC的中点,AC 分别交BE,DF于点M,N,给出以下结论：

1 △ABM≌△CDN;2 AM=1/3AC;3 DN=2NF;4 S△AMB=1/2S△ABC
求求证过程

Answer 1

解：

1：
因为ABCE是平行四边形，
所以AB=CD，∠BAM=∠DCN，

        ∠BAE=∠DCF，EA=CF=1/2AD=1/2BC
可得：△ABE≌△CDF，∠ABM=∠CDN。

故：△ABM≌△CDN。

2：
由于E、F分别是边AD、BC的中点，可得∠CFE=∠AEB。
由AD//BC得∠ADF=∠CFD ，

故∠AEB=∠ADF 可得BE//FD
故AM/MN=AE/ED=1/1  即AM=MN
  CN/NM=CF/FB=1/1  即CN=MN
得AM=MN=CN=1/3AC

3：
由1的两个三角形全等，得BM=DN
由2可得NF/DN=NF/MB=CF/CB=1/2
故DN=2NF

4：
分别过M，C做AB的垂线交AB于G、H，
则MG//CH，
    MG/CH=AM/AC=1/3，
S△AMB=1/2*AB*MG；
S△ABC=1/2*AB*CH；
故S△AMB=1/3S△ABC。

Answer 2

1.在平行四边形ABCD中，E,F分别是AD,BC的中点，
∴AE=CF,AB=CD,∠BAE=∠DCF,
∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴∠ABE=∠CDF.又∠BAM=∠DCN,
∴△ABM≌△CDN.
2.由1，AM=CN.连BD交AC于O,则BO=OD,
∴M是△ABD的重心，
∴OM=AM/2，同理ON=CN/2，
∴AM=MN=NC=(1/3)AC.
3.N是△BCD的重心，
∴DN=2NF.
4.S△AMB=S△AFB(同底等高)
=(1/2)S△ABC(F是BC的中点).