Question

4x的平方＋y的平方＋xy＝1 求2x＋y的最大值，x,y为实数

Answer 1

4x²+y²+xy=1
4(x²+xy/4+y²/64)+(15/16)y²=1
4(x+ y/8)²+(15/16)y²=1
令2(x+y/8)=cosa (√15/4)y=sina
解得2x=cosa-sina/√15 y=4sina/√15
2x+y=cosa-sina/√15+4sina/√15
=cosa+3sina/√15
=√[1²+(3/√15)²]cos(a-b) 其中，tanb=3/√15
=(2√10/5)cos(a-b)
当cos(a-b)=1时，2x+y有最大值(2x+y)max=2√10/5
当cos(a-b)=-1时，2x+y有最小值(2x+y)min=-2√10/5

Answer 2

不知道我这种解法对不对

把2x+y 整体平方，发现实际是要找到xy的最大值，在条件式中，用重要不等式把
4x的平方＋y的平方
放缩成4xy 可以求得xy的最大值，带入 得到答案 根号下 8/5

追问

谢谢！

Answer 3

f(x,y)=2x+y+a(4x²+y²+xy-1)
f`x=2+a(8x+y)=0
f`y=1+a(2y+x)=0 2+a(4y+2x)=0
8x+y=4y+2x
6x=3y
y=2x
4x²+y²+xy=1
4x²+4x²+2x²=1
x²=1/10
x=±1/√10
y=±2/√10
2x+y的最大值=4/√10

追问

谢谢！但是我觉得老师好像不是这样讲的哦