Question

三角形ABC中，A,B,C是其三内角，且满足sinA=根号2×cosB,sinAsinB=根号3×

三角形ABC中，A,B,C是其三内角，且满足sinA=根号2×cosB,sinAsinB=根号3×cosAcosB,求A,B,C的值；

Answer 1

解：已知△ABC中，A,B,C是其三内角，sinA=√2cosB，
由于sinA>0，所以cosB>0
又sinAsinB=√3cosAcosB，且sinB>0
则有cosA>0，即∠A是锐角
因为sin²A+cos²A=1且由上知sin²A=2cos²B
所以2cos²B+cos²A=1
即cos²A=1-2cos²B
解得cosA=√(1-2cos²B)
所以由sinAsinB=√3cosAcosB可得：
√2*cosB *√(1-cos²B)=√3*√(1-2cos²B) *cosB
即√2*√(1-cos²B)＝√3*√(1-2cos²B)
两边平方得：
2(1-cos²B)＝3(1-2cos²B)
化简整理得：4cos²B=1
即cos²B=1/4
cosB=1/2
解得∠B=60°
则sinA=√2cosB=√2/2
因为∠A是锐角，所以解得∠A=45°
则∠C=180°-∠A-∠B=75°
所以：∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°
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Answer 2

由sinA=根号2cosB,得cosA=根号（1-sinA的平方）=根号（1-2cosB的平方），带入题中二式，化简得，
根号2sinB=根号3*根号（1-2cosB的平方），两边同时平方，再移项，得2sinB的平方+18cosB的平方=9，
又由sinB的平方+cosB的平方=1，A，B，C为三角形内角，所以cosB＝根号2／2，所以B＝45°，
代入题中一式，得A＝90°，所以C＝45°