Question

高中数学函数问题！！！！！急！【求详解】

已知函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx+2a+2，其中a≤2．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

(Ⅰ)函数f(x)=x²-(a+2)x+alnx+2a+2的定义域为x∈(0，+∞)
f'(x)=2x-(a+2)+a/x
=[2x²-(a+2)x+a]/x
=(2x-a)(x-1)/x
令 f'(x)=0得x=a/2或1，于是
若a≤0则
当x∈(0，1)时，f'(x)＜0，f(x)在x∈(0，1)上单调递减；
当x∈(1，+∞)时，f'(x)＞0，f(x)在x∈(1，+∞)上单调递增；
若0＜a＜2则
当x∈(0，a/2)时，f'(x)＞0，f(x)在x∈(0，a/2)上单调递增；
当x∈(a/2，1)时，f'(x)＜0，f(x)在x∈(a/2，1)上单调递减；
当x∈(1，+∞)时，f'(x)＞0，f(x)在x∈(1，+∞)上单调递增；
若a=2则
对任意x∈(0，+∞)， f'(x)=(2x-a)(x-1)/x=2(x-1)²/x≥0，f(x)在x∈(0，+∞)上单调递增。
（Ⅱ）下讨论函数f(x)在x∈(0，2]上有且只有一个零点的情况
若a＜-2/(ln2)则
当x∈(0，1)时，f(x)在x∈(0，1)上单调递减，在x∈(1，2]上单调递增
f(1)=1²-(a+2)1+aln1+2a+2=1+a＜0
f(2)=2²-2(a+2)+aln2+2a+2=2+aln2＜0
当x→0时，f(x)→+∞，f(x)＞0
从而f(x)在x∈(0，2]有且只有一个零点；
若-2/(ln2)≤a＜-1则
当x∈(0，1)时，f(x)在x∈(0，1)上单调递减，在x∈(1，2]上单调递增
f(1)=1²-(a+2)1+aln1+2a+2=1+a＜0
f(2)=2²-2(a+2)+aln2+2a+2=2+aln2≥0
当x→0时，f(x)→+∞，f(x)＞0
从而f(x)在x∈(0，2]上有两个零点；
若a=-1则
当x∈(0，1)时，f(x)在x∈(0，1)上单调递减，在x∈(1，2]上单调递增
f(1)=1²-(a+2)1+aln1+2a+2=1+a=0
f(x)在x∈(0，2]上有且只有一个零点；
若-1＜a≤0则
当x∈(0，1)时，f(x)在x∈(0，1)上单调递减，在x∈(1，2]上单调递增
f(1)=1²-(a+2)1+aln1+2a+2=1+a＞0
从而f(x)在x∈(0，2]上无零点；
若0＜a＜2则
f(x)在x∈(0，a/2)上单调递增，在x∈(a/2，1)上单调递减，在x∈(1，2]上单调递增；
f(1)=1+a＞0
f(a/2)＞ f(1)＞0
当x→0时，显然f(x)=x²-(a+2)x+alnx+2a+2→-∞，f(x)＜0
f(x)在x∈(0，2]上有且只有一个零点
若a=2则
∀x∈(0，2]， f'(x)=(2x-a)(x-1)/x=2(x-1)²/x≥0，f(x)=x²-4x+2lnx+6在x∈(0，2]上单调递增，当x→0时，显然f(x)=x²-4x+2lnx+6→-∞，f(x)＜0，又f(2)=2ln2+6＞0，从而f(x)在x∈(0，2]上有且只有一个零点。
综上，若函数f(x)在x∈(0，2]上有且只有一个零点，则a的取值范围为{a|a＜-2/(ln2)或a=-1或0＜a≤2}

Answer 2

这个问题肯定要使用导数求解。但这里太难书写。抱歉了

Answer 3

先求导 求导值=0 求出各点 就是区间端点
第二题根据求导