Question

如图角B=角C=90度 M是BC的中点,DM平分角ADC.

（1）求证：AM平分角DAB
（2）线段DM与AM有怎样的位置关系，请说明理由。
（3）线段AD与线段DC、AB有怎样的数量关系，请说明理由。

Answer 1

证明：

（1）

延长DM交AB的延长线于点E

∵CD//AB

∴∠E=∠CDM
∵M是BC的中点
∴△CMD≌△BME
∴MC=ME，∠E=∠CDM
∵∠CDM=∠ADM
∴∠ADM=∠E
∴AD=AE
∴AM平分∠BAD（等腰三角形三线合一）

（2）MD与AM的关系为互相垂直
∵AB//CD
∴∠BAD+∠CDA=180°
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC
∴∠MAD+∠ADM=90°
∴∠AMD=90°
∴AM⊥DM

（3）AD=AB+CD

由（1）知：CD=BE

∠E=∠CDM=∠ADM

∴AD=AE=AB+BE=AB+CD

∴AD=AB+CD

Answer 2

过M点作ME垂直于AD垂足为E，
由角平分线性质定理可得MC=ME，
再结合MB=MC可得MB=ME,
再由角平分线性质定理的逆定理点M在角平分线上，即AM平分角DAB.