Question

已知函数f（x）=x³+3ax²+3x+1 若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围.

分离参数后不知怎么下手了～

Answer 1

解答:
函数f（x）=x³+3ax²+3x+1 若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0
即 x³+3ax²+3x+1≥0在【2,+∞）上恒成立
∴ -3ax²≤x³+3x+1在【2,+∞）上恒成立
即 -3a≤x+3/x+1/x²【2,+∞）上恒成立
设g(x)=x+3/x+1/x²
g'(x)=1-3/x²-2/x³
=(x³-3x-2)/x³
=(x³+x²-x²-3x-2)/x³
=[x²(x+1)-(x+1)(x+2)]/x³
=(x+1)(x+1)(x-2)/x³
当x≥2时，g'(x)恒正，
∴ g(x)递增
∴ g(x)的最小值是g(2)=15/4
∴ -3a≤15/4
即 a≥-5/4

追问

分离参数为什么不把-3移到不等式的右边，这样会不会右边取最小值的时候出现差错？

追答

这个一样啊。
我这样做的原因是为了让函数的系数为正。

追问

那换另一种方法，如果g(x)=x+3/x+1/x²可不可以直接用洛必达法则求出结果，其中x是不是趋向于2？

追答

这个跟洛必达有啥关系。

追问

算了，这样又复杂了，要先证明单调性才能用了

追答

这个又不是0/0型，∞/∞型的，与洛必达无关。

追问

最近看了点洛必达搞不清什么是0/0 或∞/∞型，考试不懂的时候只能靠它来蒙了(￣.￣)
还有最后一道拜托了～～～
已知a∈R,函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax
若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.
f'（x）=6x²-6（a＋1）x＋6a
=6[x²-（a+1）x+a]
=6（x-1）（x-a）
令f'（x）=0得x₁=a，x₂=1
接下来又不知怎么下手了！

追答

新问题，应该采纳后重新求助的。