Question

大学物理关于动量定理的一道题

一条柔软链条长为l,单位长度的质量为λ。链条放在桌上，桌上有一小孔，链条一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周围。由于某种扰动，链条因自身重量开始落下。求链条下落速度与落下距离之间的关系。设链与各处的摩擦均略去不计，且认为链条柔软得可自由伸开。
这是书上的一道例题，是用动量定理做的，答案是v^2=（2gy/3),为什么用高中的机械能守恒做出来就不对了，求大神！

Answer 1

很简单，因为绳子是一整根的
1、理想模型中，在某一时刻，已经从小孔落下的部分具有相同的速度v，还未从小孔落下的部分的速度为0，某一质点由未落下部分变为已落下部分会产生一个速度突变，而且为塑性突变，这时就打破了能量守恒，有部分能量转化为内能散失。（正如经典的刚体塑性碰撞理论，机械能不守恒）。
2、在非理想模型中，同样的道理，绳子上下不可能实现具有相同加速状态，但是绳子的总长度又是不变的，所以在绳子内部总是会存在塑性速度突变，使能量转化为内能。
纯手打，望采纳。

注：塑性速度突变是我自己设定的一个名字，是一种类似于塑性碰撞的过程，指对象质点速度突变后与使其产生速度突变的质点具有相同的速度的突变状态。

Answer 2

这是一道经典习题，几天前刚做过。
因为绳子下落时每下落一段，质量在变化，已落下绳子的受力也在变化，机械能守恒的对象不能够视为下落中那一截的绳子，变力做功当然不能直接用非积分形式推导的公式做了。在这个问题中，堆在桌上的绳子视为质点，即桌上的链条开始下落之前没有水平位移，因此只考虑竖直方向的运动学状态。由牛顿第二定律F=d(mv)/dv=mdv+vdm（当然高中的f=ma忽略了质量变化即vdm项），或者动量定理(m+dm)(v+dv)-mv=mgdt，变量替换后积分即可解得上式。