Question

如图所示。矩形ABCD中，CE垂直BD于点E，AF平分角BAD交EC延长线于F，求证：CA=CF。

Answer 1

证明：

∵四边形为矩形

∴AB=CD，∠BAD=∠ABC=∠DCB=∠ADC=90°

又∵BC=CB

∴△ABC≌△DCB（SAS）

∴∠2=∠3

∵CE⊥BD

∴∠1+∠4=90°

∵∠2+∠4=90°

∴∠1=∠2=∠3

∵∠HCF=∠1（对顶角相等）

∴∠HCF=∠3

∵AF平分∠BAD，即∠DAH=45°

    AD//BC

∴∠CGH=∠DAH=45°

∵∠HCG=90°

∴△HCG是等腰直角三角形

∴CH=CG，∠CHG=∠CGH=45°

∴∠CHF=∠CGA=135º（等角的补角相等）

∴△CHF≌△CGA（ASA）

∴AC=CF