Question

什么是抽象函数(高中的)

Answer 1

一般形式
不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即抽象函数。一般形式为y=f(x)，或许还附有定义域、值域等，如： y=f(x), (x>0, y>0)。
抽象函数形式
幂函数：f(xy)=f(x)f(y)
正比例函数：f(x+y)=f(x)+f(y)
对数函数：f(x)+f(y)=f(xy)
三角函数：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) f(x)=cosx
指数函数：f(x+y)=f(x)f(y)
周期为n的周期函数：f(x)=f(x+n)
证明
例题：f(xy)=f(x)+f(y),f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增，f(2)=1。求证：f(x)=lgx/lg2即以二为底x的对数。
证明：定义域：相同
∵f(2*1)=f(2)+f(1)∴f(1)=0
∵f(1)=f(2)+f(1/2)∴f(1/2)=-1同理f(1/x)=-f(x)
∵f(x^k)=f(x*x*……*x*x)【k个x】=f(x)+f(x)+……+f(x)+f(x)【k个】=k*f(x),k∈Z且k>0(x=2时f(x^k)=k) ①
f(x^k)=f((1/x)^(-k))=f((1/x)*(1/x)*……*(1/x)*(1/x))【-k个x】=f(1/x)+f(1/x)+……+f(1/x)+f(1/x)【-k个】=(-k)*f(1/x),k∈Z且k<0（x=2时，f(x^k)=-k*f(1/2)=k）
f(x^0)=f(1)=0=0*f(x)(x=2时，f(x^k)=k=0)
∴f(2^k)=k,k∈Z②
∵p*f(2^(1/p))=f((2^(1/p))^p)=f(2^(1/p*p))=f(2)=1,k<>0且p∈Z(①)
∴f(2^(1/p))=1/p,p∈Z且p<>0
又∵② ∴f(2^(k/p))=f((2^(1/p))^k)=k*f(2^(1/p))=k*(1/p)*f(2)=k/p即f(2^m)=m对所有有理数成立 ③
任取z∈R，{1}若f(2^z)<z,z必定为f(y),y>2^z(由于单调性以及③)，
在(2^z,y)上必定有q=2^(z+n),z+n为有理数，n>0,
f(q)=z-n<f(y)=z(单调性)与n>0矛盾，导出矛盾所以f(2^z)<z不成立
{2}同理f(2^z)>z不成立
又∵2^z>0，有定义域
所以f(2^z)=z
令x=2^z>0,f(x)=z=以二为底2^z的对数=以二为底x的对数
证毕。（若没有单调性要先证单调性）
表达形式
f(m+x)=f(n-x) 对称轴为(m+n)/2
f(m+x)+f(n-x)=1 关于（(m+n)/2,1/2)对称
f(x+m)=f(x) 周期为m

望采纳

Answer 2

，