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如图,已知:⊙O是△ABC的外接圆,半径长为5,点D、E分别是边AB和边AC的中点,AB=AC,B
如图,已知:⊙O是△ABC的外接圆,半径长为5,点D、E分别是边AB和边AC的中点,AB=AC,BC=6。求∠OED的正切值。...
如图,已知:⊙O是△ABC的外接圆,半径长为5,点D、E分别是边AB和边AC的中点,AB=AC,BC=6。求∠OED的正切值。
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解:
连接OA交DE于F,连接OD
∵D是AB的中点,E是AC的中点
∴DE=½BC=3(中位线定理)
OE⊥AC(垂径定理)
∵AB=AC
∴OD=OE(弦相等,弦心踞相等)
AD=AE
又∵AO=AO
∴△ADO≌△AEO(SSS)
∴∠DAO=∠EAO
∴AO⊥DE,EF=½DE=1.5(等腰三角形三线合一)
设OF=α,则AF=5-α
根据射影定理
EF²=OF×AF
1.5²=α(5-α)
α²-5α+2.25=0
α=4.5或α=0.5
∵BC和点A在圆心O的异侧,∠BAC<90,∠OEF=∠OAE=½∠BAC<45°
∴∠OEF<∠EOF
∴OF<EF
取α=0.5
tan∠OED=OF/EF=1/3
【此题若是BC和点A在圆心O的同侧,则tan∠OED=3】
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