Question

如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我们把菱形ABCD的对称中心称作菱形的中心．菱形ABCD在直线l上向右作

如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我们把菱形ABCD的对称中心称作菱形的中心．菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过1次这样的操作菱形中心O所经过的路径长为______；经过18次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为______；经过3n（ n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为______．（结果都保留π）

Answer 1

∵菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°， ∴△ABD是等边三角形， BO=DO=1， AO= AD 2 -DO 2 = 3 ， 第一次旋转的弧长= 60π× 3 180 = 3 3 π， ∵第一、二次旋转的弧长和= 60π× 3 180 + 60π× 3 180 = 3 3 π+ 3 3 π= 2 3 3 π， 第三次旋转的弧长为： 60π×1 180 = π 3 ∵18÷3=6， 故中心O所经过的路径总长=6（ 2 3 3 π+ π 3 ）=（4 3 +2）π， 故经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为：n×（ 2 3 3 π+ π 3 ）= 2 3 +1 3 nπ． 故答案为： 3 3 π，（4 3 +2）π， 2 3 +1 3 nπ．