Question

把菱形ABCD沿着BD的方向平移到菱形A'B'C'D'的位置。

（1）、求证：重叠部分的四边形B'EDF是菱形；
（2）、若重叠部分的四边形B'EDF的面积是菱形ABCD面积的一半，且BD=根2，求此菱形的移动的距离。

Answer 1

（1）连接BD、AC、EF，由菱形性质可知，AC⊥BD
因菱形A'B'C'D'为菱形ABCD沿着BD的方向平移而得，所以EF∥AC，所以EF⊥BD、EF⊥B'D
所以四边形B'EDF是菱形
（2）因三角形ABD相似于三角形FB'D，三角形ACD相似于三角形FED，
所以AD/FD=B'D/BD=EF/AC，
菱形B'EDF的面积=(B'D/2)(EF/2)=B'D*EF/4，菱形ABCDr面积=(BD/2)(AC/2)=BD*AC/4
菱形B'EDF的面积/菱形ABCDr面积=(B'D*EF)/(BD*AC)=(B'D/BD)(EF/AC)
=(B'D/BD)^2=B'D^2/BD^2=1/2，将BD=√2代入得B'D^2/(√2)^2=1/2，解得B'D=1
BB'=BD=B'D=√2-1
此菱形的移动的距离为√2-1