Question

设函数f（x）=kx3+3（k-1）x2-k2+1的极值点是0和4．（1）求常数k的值；（2）确定函数f（x）的单调区间；

设函数f（x）=kx3+3（k-1）x2-k2+1的极值点是0和4．（1）求常数k的值；（2）确定函数f（x）的单调区间；（3）求f（x）的极值．

Answer 1

（1）f′（x）=3kx²+6（k-1）x，由于极值点是0和4，
∴0和4是方程3kx²+6（k-1）x=0的两根，可求得k＝

1

3

；
（2）由（1）可知f′（x）=3kx²+6（k-1）x=x²-4x=x（x-4），
∴当x＜0或x＞4，f（x）为增函数，
0≤x≤4，f（x）为减函数；
（3）由（2）可判断极大值为f(0)＝

8

9

，极小值为f(4)＝?

88

9

．