Question

（2014?巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于点A（-2，0）和点B，与y轴交于点C

（2014?巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于点A（-2，0）和点B，与y轴交于点C，直线x=1是该抛物线的对称轴．（1）求抛物线的解析式；（2）若两动点M，H分别从点A，B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到达原点时，点H立刻掉头并以每秒32个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点M的直线l⊥x轴，交AC或BC于点P，设点M的运动时间为t秒（t＞0）．求点M的运动时间t与△APH的面积S的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于点A（-2，0），直线x=1是该抛物线的对称轴，
∴

4a?2b?4＝0 ? b 2a ＝1

，
解得：

a＝ 1 2 b＝?1

，
∴抛物线的解析式是：y=

1

2

x²-x-4，

（2）分两种情况：
①当0＜t≤2时，
∵PM∥OC，
∴△AMP∽△AOC，
∴

PM

OC

=

AM

AO

，即

PM

4

=

t

2

，
∴PM=2t．
解方程

1

2

x²-x-4=0，得x₁=-2，x₂=4，
∵A（-2，0），
∴B（4，0），
∴AB=4-（-2）=6．
∵AH=AB-BH=6-t，
∴S=

1

2

PM?AH=

1

2

×2t（6-t）=-t²+6t=-（t-3）²+9，
当t=2时S的最大值为8；
②当2＜t≤3时，过点P作PM⊥x轴于M，作PF⊥y轴于点F，则△COB∽△CFP，
又∵将x=0代入抛物线求得C点坐标为（0，-4），
∴CO=OB，
∴FP=FC=t-2，PM=4-（t-2）=6-t，AH=4+

3

2

（t-2）=

3

2

t+1，
∴S=

1

2

PM?AH=

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