Question

利用柱面坐标计算三重积分?Ωzdxdydz，其中闭区域Ω为半球体：x2+y2+z2≤1，z≥0

利用柱面坐标计算三重积分?Ωzdxdydz，其中闭区域Ω为半球体：x2+y2+z2≤1，z≥0．

Answer 1

将三重积分直角坐标形式化为柱坐标形式来计算．
变量之间转化为：

x＝rcosθ y＝rsinθ z＝z

，0≤r≤1，0≤θ≤2π，0≤z≤

1?r2

面积微元dv=dxdydz=rdrdθdz，
故所求三重积分
=

∫

2π 0

dθ

∫

1 0

rdr

∫

1?r2 0

zdz
=

π

4

．