Question

函数f（x）=ax3+bx2+（c-3a-2b）x+d的图象如图所示．（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为3x+y-11=0，求

函数f（x）=ax3+bx2+（c-3a-2b）x+d的图象如图所示．（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为3x+y-11=0，求函数f（x）的解析式（2）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y＝13f′(x)+5x+m的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由图可知函数f（x）的图象过点（0，3），且f′（1）=0，
∴

d＝3 3a+2b+c?3a?2b＝0

，

d＝3 c＝0

----3
依题意f′（2）=-3且f（2）=5，解得a=1，b=-6
所以f（x）=x³-6x²+9x+3----6
（2）由题意可得：x³-6x²+9x+3=x²+x+3+m有三个不相等的实根，
即g（x）=x³-7x²+8x与y=m有三个不同的交点g′（x）=3x²-14x+8=（3x-2）（x-4）

x	(?∞， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，4)	4	（4，+∞）
g′（x）	+	0	_	0	+
g（x）	增	极大	减	极小	增

则g(

2

3

)＝

68

27

，g（4）=-16，故m的取值范围是(?16，

68

27

)----12