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微分中值定理的难题,求大神老师解答16题!
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设h(x)=f(x)-g(x),拉格朗日中值定理得存在c1∈(a,x0),c2∈(x0,b)
使得h'(c1)=(h(x0)-h(a))/(x0-a)=h(x0)/(x0-a),h'(c2)=(h(b)-h(x0))/(b-x0)=-h(x0)/(b-x0)
∵h(x0)>0,x0-a>0,b-x0>0,∴h'(c1)>0>h'(c2),再次由拉格朗日中值定理得
存在ξ∈(c1,c2),使得h''(ξ)=[h'(c2)-h'(c1)]/(c2-c1),∵c2>x0>c1,h'(c2)<h'(c1)
∴h''(ξ)<0,即有ξ∈(a,b),f''(ξ)<g''(ξ)
使得h'(c1)=(h(x0)-h(a))/(x0-a)=h(x0)/(x0-a),h'(c2)=(h(b)-h(x0))/(b-x0)=-h(x0)/(b-x0)
∵h(x0)>0,x0-a>0,b-x0>0,∴h'(c1)>0>h'(c2),再次由拉格朗日中值定理得
存在ξ∈(c1,c2),使得h''(ξ)=[h'(c2)-h'(c1)]/(c2-c1),∵c2>x0>c1,h'(c2)<h'(c1)
∴h''(ξ)<0,即有ξ∈(a,b),f''(ξ)<g''(ξ)
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