Question

常微分方程关于积分因子的题

方程M(x+y)dx+N(x+y)dy=0分别具有形如u(x+y)和u(xy)的积分因子的充要条件，要过程

Answer 1

充要条件是dM/dy=dN/dx（不方便打 ，都是偏导）

即：Ndu/dx-Mdu/dy=(dM/dy -dN/dx)u .....（1） (不方便打 ，都是偏导)

证明 ：上面的等式是以u为未知函数的一阶线性偏微分方程，一般情况下，通过方程（1）来求积分因子，得到方程M(x+y)dx+N(x+y)dy=0的解，与求解M(x+y)dx+N(x+y)dy=0本身同样困难，但是在某些特殊的情况中，也可以方便的解出（1）的一个解u，例如，如果方程M(x+y)dx+N(x+y)dy=0存在一个只于x有关的积分因子u=u（x）时，则du/dy=0，于是（1）式变化为：
1/u *du/dx =(dM/dy-dN/dx)/N。。。。（2）

由此可知，方程M(x+y)dx+N(x+y)dy=0具有一个只与x有关的积分因子的必要条件是（2）式右边不含y 即：
M(x+y)dx+N(x+y)dy恒等于u（x）。。。（3）

其中u（x）是x的函数，反之，若（3）成立，则以u（x）代入（2）中，得到：

du/u =u(x)dx

于是求得 u（x）=e^(u(x)的积分)
显然，它满足（1）的，故知它是M(x+y)dx+N(x+y)dy=0的一个积分因子，这就证明了M(x+y)dx+N(x+y)dy=0具有一个只与x有关的积分因子的的充分必要条件是（3）式成立

同样的，假设M(x+y)dx+N(x+y)dy=0具有一个只与y有关的积分因子的充分必要条件是：
M(x+y)dx-N(x+y)dy恒等于u（y）
其中u（y）是y的函数
同样按上面的方法解出
u=e^(u(y)的积分)
这个u同样是它的积分因子

所以方程M(x+y)dx+N(x+y)dy=0分别具有形如u(x+y)和u(xy)的积分因子的充要条件是：
dM/dy=dN/dx 即：Ndu/dx-Mdu/dy=(dM/dy -dN/dx)u

Answer 2

充要条件是dM/dy=dN/dx（不方便打 ，都是偏导）

即：Ndu/dx-Mdu/dy=(dM/dy -dN/dx)u .....（1） (不方便打 ，都是偏导)

证明 ：上面的等式是以u为未知函数的一阶线性偏微分方程，一般情况下，通过方程（1）来求积分因子，得到方程M(x+y)dx+N(x+y)dy=0的解，与求解M(x+y)dx+N(x+y)dy=0本身同样困难，但是在某些特殊的情况中，也可以方便的解出（1）的一个解u，例如，如果方程M(x+y)dx+N(x+y)dy=0存在一个只于x有关的积分因子u=u（x）时，则du/dy=0，于是（1）式变化为：
1/u *du/dx =(dM/dy-dN/dx)/N。。。。（2）

由此可知，方程M(x+y)dx+N(x+y)dy=0具有一个只与x有关的积分因子的必要条件是（2）式右边不含y 即：
M(x+y)dx+N(x+y)dy恒等于u（x）。。。（3）

其中u（x）是x的函数，反之，若（3）成立，则以u（x）代入（2）中，得到：

du/u =u(x)dx

于是求得 u（x）=e^(u(x)的积分)
显然，它满足（1）的，故知它是M(x+y)dx+N(x+y)dy=0的一个积分因子，这就证明了M(x+y)dx+N(x+y)dy=0具有一个只与x有关的积分因子的的充分必要条件是（3）式成立

同样的，假设M(x+y)dx+N(x+y)dy=0具有一个只与y有关的积分因子的充分必要条件是：
M(x+y)dx-N(x+y)dy恒等于u（y）
其中u（y）是y的函数
同样按上面的方法解出
u=e^(u(y)的积分)
这个u同样是它的积分因子

所以方程M(x+y)dx+N(x+y)dy=0分别具有形如u(x+y)和u(xy)的积分因子的充要条件是：
dM/dy=dN/dx 即：Ndu/dx-Mdu/dy=(dM/dy -dN/dx)u
很好的一个，你可以到高等数学查看，有类似的题目，没有可以找我

Answer 3

通过方程（1）来求积分因子，得到方程M(x+y)dx+N(x+y)dy=0的解，与求解M(x+y)dx+N(x+y)dy=0本身同样困难，但是在某些特殊的情况中，也可以方便的解出（1）的一个解u，例如，如果方程M(x+y)dx+N(x+y)dy=0存在一个只于x有关的积分因子u=u（x）时，则du/dy=0，于是（1）式变化为：
1/u *du/dx =(dM/dy-dN/dx)/N
由此可知M(x+y)dx+N(x+y)dy恒等于u（x）
u（x）代入（2）中，得到：

du/u =u(x)dx

于是求得 u（x）=e^(u(x)的积分)
显然，它满足（1）的，故知它是M(x+y)dx+N(x+y)dy=0的一个积分因子，这就证明了M(x+y)dx+N(x+y)dy=0具有一个只与x有关的积分因子的的充分必要条件是（3）式成立

同样的，假设M(x+y)dx+N(x+y)dy=0具有一个只与y有关的积分因子的充分必要条件是：
M(x+y)dx-N(x+y)dy恒等于u（y）
其中u（y）是y的函数
同样按上面的方法解出
u=e^(u(y)的积分)
这个u同样是它的积分因子

所以方程M(x+y)dx+N(x+y)dy=0分别具有形如u(x+y)和u(xy)的积

Answer 4

caicai令p=x+y,q=xy,然后将方程化为关于p,q的方程,再进行判断即可.

Answer 5

令p=x+y,q=xy,然后将方程化为关于p,q的方程,再进行判断即可.