Question

设函数 f(x)= x 3 -tx+ t-1 2 ，t∈R ．（I）试讨论函数f（x）在区间[0，1]上的单调性：（II

设函数 f(x)= x 3 -tx+ t-1 2 ，t∈R ．（I）试讨论函数f（x）在区间[0，1]上的单调性：（II）求最小的实数h，使得对任意x∈[0，1]及任意实数t， f(x)+| t-1 2 |+h≥0 恒成立．

Answer 1

（1）∵函数 f(x)= x 3 -tx+ t-1 2 ，t∈R ，∴f ′ （x）=3x 2 -t． 1°若t≤0，则f ′ （x）≥0（不恒等于0）在[0，1]上恒成立，∴f（x）在[0，1]上单调递增； 2°若t≥3时，∵3x 2 ≤3，∴f ′ （x）≤0在[0，1]上恒成立，∴f（x）在[0，1]上单调递减； 3°若0＜t＜3，则 f ′ (x)=3(x+ t 3 )(x- t 3 ) ，令f ′ （x）=0，解得 x= t 3 ， 当 x∈[0， t 3 ) 时，f ′ （x）＜0，∴f（x）在 x∈[0， t 3 ) 上单调递减； 当 x∈( t 3 ，1] 时，f ′ （x）＞0，∴f（x）在 x∈( t 3 ，1] 上单调递增． （2） f(x)+| t-1 2 |+h≥0 ? f(x)+| t-1 2 |≥-h ，因此，只需求出当x∈[0，1]，t∈R时， f(x)+| t-1 2 | 的最小值即可． 方法一：令g（x）=f（x）+ | t-1 2 | ，x∈[0，1]， 而g ′ （x）=f ′ （x），由（1）的结论可知： 当t≤0或t≥3时，则g（x）在[0，1]上单调，故g（x） min =min{g（0），g（1）}=min{ t-1 2 +| t-1 2 | ， 1-t 2 +| t-1 2 | }=0． 当0＜t＜3时，则 g(x ) min =g( t 3 ) =- 2 3 t t 3 + t-1 2 +| t-1 2 | ． ∴h（t）= 0，当t≤0或t≥3时 - 2 3 t t 3 + t-1 2 +| t-1 2 |，当0＜t＜3时 ． 下面求当t∈R时，关于t的函数h（t）的最小值． 当t∈（0，1）时，h（t）= - 2t 3 t 3 在（0，1）上单调递减； 当1＜t＜3时，h（t）= - 2t 3 t 3 +t-1 ， h ′ (t)=1- t 3 ＞0，∴h（t）在（1，3）上单调递增．又h（t）在t=1处连续，故h（t）在t∈（0，3）上的最小值是h（1）=- 2 3 9 ． 综上可知：当t∈[0，1]且t∈R时， f(x)+| 推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2020-02-25 指出函数f(x)=-3x+2的单调区间,并运用定义进行证明 2020-11-22 试讨论函数f(x)=x/(1-x²)在区间（-1，1）上的单调性 2013-02-22 设函数f(x)=x3-tx+ t-1 2 ,t∈R(1)试讨论函数f(x)在区间【0,1】上的单调性;(2)求最小的实 4 2012-07-20 已知函数f（x）=|x²-4x+3| 1.求函数f（x）单调区间，并指出其单调性 2.若关于x的方程f（x）-a=x 13 2016-02-21 已知函数f(x)=(x-t)|x|，t∈R 求该函数的单调区间 5 2010-10-05 设函数f(x)=(x+2)/(x+1),写出单调区间,并证明其单调性 8 2011-09-27 若函数f（x）=|x+1|-|2-x|（x∈（-∞，3])求单调区间 2 2015-01-23 函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（1）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在区间（1， 10 更多类似问题 > 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 新生报道需要注意什么？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2025Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式