Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）-f（x）＜0恒成立，则不等式x2f（x）＞

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）-f（x）＜0恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集是（　　）A．（-∞，-2）∪（0，2）B．（-2，0）∪（2，+∞）C．（-2，2）D．（-∞，-2）∪（2，+∞）

Answer 1

∵当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，
∴

xf′(x)-f(x)

x2

＜0，即[

f(x)

x

]′＜0，
∴

f(x)

x

在（0，+∞）内单调递减．
∵f（2）=0，
∴在（0，2）内f（x）＞0；在（2，+∞）内f（x）＜0．
又∵f（x）是R上的奇函数，
∴在（-∞，-2）内f（x）＞0；在（-2，0）内f（x）＜0．
又不等式x²f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．
∴解集为（-∞，-2）∪（0，2）．
故选：A．