Question

数列{a n }的前n项和为S n =2 n+1 -2，数列{b n }是首项为a 1 ，公差为d（d≠0）的等差数列，且b 1 ，b 3

数列{a n }的前n项和为S n =2 n+1 -2，数列{b n }是首项为a 1 ，公差为d（d≠0）的等差数列，且b 1 ，b 3 ，b 11 成等比数列．（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）设 c n = b n a n ，求数列{c n }的前n项和T n ．

Answer 1

解析：（1）当n≥2时，a n =S n -S n-1 =2 n+1 -2 n =2 n ， 又 a 1 = S 1 = 2 1+1 -2=2 ，也满足上式， 所以数列{a n }的通项公式为 a n = 2 n ． b 1 =a 1 =2，设公差为d，由b 1 ，b 3 ，b 11 成等比数列， 得（2+2d） 2 =2×（2+10d），化为d 2 -3d=0． 解得d=0（舍去）d=3， 所以数列{b n }的通项公式为b n =3n-1． （2）由（1）可得T n = 2 2 1 + 5 2 2 + 8 2 3 +…+ 3n-1 2 n ， ∴2T n = 2+ 5 2 1 + 8 2 2 +…+ 3n-1 2 n-1 ， 两式相减得T n = 2+ 3 2 1 + 3 2 2 +…+ 3 2 n-1 - 3n-1 2 n ， = 2+ 3 2 (1- 1 2 n-1 ) 1- 1 2 - 3n-1 2 n = 5- 3n+5 2 n ．