Question

设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取得极小值-23．（1）

设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取得极小值-23．（1）求a，b，c，d的值；（2）若x1，x2∈[-1，1]，求证：|f（x1）-f（x2）|≤43．

Answer 1

（1）∵f（x）的图象关于原点对称；
∴函数f（x）是奇函数，∴b=0，d=0；
∴f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c；
又f（x）在x=1处取得极小值-

2

3

；
∴

f′(1)＝3a+c＝0 f(1)＝a+c＝? 2 3

，解得a=

1

3

，c=-1；
（2）f（x）=

1

3

x³-x，f′（x）=x²-1；
∴x∈（-1，1）时，f′（x）＜0；
∴函数f（x）在[-1，1]上单调递减；
f（-1）=

2

3

，f（1）=-

2

3

；
∴函数f（x）在[-1，1]上的值域为[?

2

3

，

2

3

]；
∴x₁，x₂∈[-1，1]，|f(x1)?f(x2)|≤

2

3

?(?

2

3

)＝

4

3

．