Question

已知a＞0，函数f（x）=ax3-bx（x∈R）图象上相异两点A，B处的切线分别为l1，l2，且l1∥l2．（1）判断函数

已知a＞0，函数f（x）=ax3-bx（x∈R）图象上相异两点A，B处的切线分别为l1，l2，且l1∥l2．（1）判断函数f（x）的奇偶性；并判断A，B是否关于原点对称；（2）若直线l1，l2都与AB垂直，求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（-x）=a（-x）³-b（-x）=-（ax³-bx）=-f（x），…（2分）
∴f（x）为奇函数．…（3分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且x₁≠x₂，又f'（x）=3ax²-b，…（5分）
∵f（x）在两个相异点A，B处的切线分别为l₁，l₂，且l₁∥l₂，
∴k1＝f′(x1)＝3ax12?b＝k2＝f′(x2)＝3ax22?b(a＞0)，
∴x12＝x22，又x₁≠x₂，∴x₁=-x₂，…（6分）　　
又∵f（x）为奇函数，
∴点A，B关于原点对称．…（7分）
（2）由（1）知A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），
∴kAB＝

y1

x1

＝ax12?b，…（8分）
又f（x）在A处的切线的斜率k＝f′(x1)＝3ax12?b，
∵直线l₁，l₂都与AB垂直，
∴kAB?k＝?1，(ax12?b)?(3ax12?b)＝?1，…（9分）
令t＝ax12≥0，即方程3t²-4bt+b²+1=0有非负实根，…（10分）
∴△≥0?b²≥3，又t1t2＝

b2+1

3

＞0，
∴

4b

3

＞0?b＞0．
综上b≥

3

．…（14分）