Question

已知等差数列{an}满足：a2=5，a4+a6=22，{an}的前n项和为Sn．（1）求an及Sn； （2）若f（x）=1x2?1，bn=f

已知等差数列{an}满足：a2=5，a4+a6=22，{an}的前n项和为Sn．（1）求an及Sn； （2）若f（x）=1x2?1，bn=f（an）（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d
∵a₂=5，a₄+a₆=22，
∴a₁+d=5，2a₁+8d=22，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=2n+1，S_n=n²+2n．
（2）∵f（x）=

1

x2?1

，b_n=f（a_n），
∴b_n=

1

an2?1

，
∵a_n=2n+1∴an2?1＝4n(n+1)，
∴b_n=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

?

1

n+1

)，
S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

4

(1?

1

2

+

1

2

?

1

3

+…+

1

n

?

1

n+1

)=

1

4

(1?

1

n+1

)=

n

4(n+1)

．
所以数列{b_n}的前n项和S_n=

n

4(n+1)

．