Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在y轴和x轴的正半轴，矩形OABC的面积为36，以AO为直径

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在y轴和x轴的正半轴，矩形OABC的面积为36，以AO为直径作⊙D，2OC=9AD（1）求圆心D的坐标；（2）动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位的速度向终点B运动，过P作⊙D的切线交x轴于Q，切点为E，若OQ的长度为y，点P的运动时间为t，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当t为何值时△PDQ与以P、B、C为顶点的三角形相似？

Answer 1

（1）设AD=r，则AO=2r，
∵2OC=9AD，
∴OC=

9

2

r，
∴矩形OABC的面积=AO?OC=2r?

9

2

r=9r²=36，
解得r=2，
∴点D的坐标为（0，2）；

（2）由切线长定理得，∠APD=∠EPD，∠OQD=∠EQD，
∵AB∥OC，
∴∠APD+∠EPD+∠OQD+∠EQD=180°，
∴∠APD+∠OQD=90°，
∵∠OAB=90°，
∴∠APD+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠OQD，
又∵∠OAB=∠AOC=90°，
∴△ADP∽△OQD，
∴

AP

OD

=

AD

OQ

，
即

t

2

=

2

y

，
∴y=

4

t

，
∵OC=

9

2

r=

9

2

×2=9，
∴0＜t＜9；

（3）由勾股定理得，DP=

AP2+AD2

=

t2+22

=

t2+4

，
DQ=

OQ2+OD2

=

( 4 t )2+22

=

16 t2 +4

，
∴

DP

DQ

=

t2+4

16 t2 +4

=

t

2

，
∵∠APD+∠OQD=90°，
∴∠PQD+∠QPD=90°，
∴∠PDQ=90°，
∵△PDQ与以P、B、C为顶点的三角形相似，
∴

DP

DQ

=

PB

BC

或

DP

DQ

=

BC

PB

，
即

t

2

=

9?t

4

或

t

2

=

4

9?t

，
整理得，2t=9-t或t²-9t+8=0，
解得t=3或t₁=1，t₂=8，
∵0＜t＜9，
∴t为1秒或3秒或8秒时，△PDQ与以P、B、C为顶点的三角形相似．