Question

在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝ ∠ACB，PE交BO于点E，过点B

在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝ ∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G． （1） 当点P与点C重合时（如图①）．求证：△BOG≌△POE；（4分）（2）通过观察、测量、猜想： = ，并结合图②证明你的猜想；（5分）（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，求 的值．（用含α的式子表示）（5分）

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Answer 1

（1）证明见解析（2） ，证明见解析（3）

解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合， ∴OB="OP" ， ∠BOC=∠BOG=90°。 ∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO。 ∴∠GBO=∠EPO 。∴△BOG≌△POE（AAS）。 （2） 。证明如下： 如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N， ∴∠PNE=∠BOC=90 0 ， ∠BPN=∠OCB。 ∵∠OBC=∠OCB =45 0 ， ∴∠NBP=∠NPB。 ∴NB=NP。 ∵∠MBN=90 0 —∠BMN， ∠NPE=90 0 —∠BMN，∴∠MBN=∠NPE。 ∴△BMN≌△PEN（ASA）。∴BM=PE。 ∵∠BPE= ∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF。 ∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90 0 。 又∵PF=PF， ∴△BPF≌△MPF（ASA）。∴BF="MF" ，即BF= BM。 ∴BF= PE， 即 。 （3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N， ∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90 0 。 由（2）同理可得BF= BM， ∠MBN=∠EPN。 ∵∠BNM=∠PNE=90 0 ，∴△BMN∽△PEN。 ∴ 。 在Rt△BNP中， ， ∴ ，即 。 ∴ 。 （1）由正方形的性质可由AAS证得△BOG≌△POE。 （2）过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，通过ASA证明△BMN≌△PEN得到BM=PE，通过ASA证明△BPF≌△MPF得到BF=MF，即可得出 的结论。 （3）过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，同（2）证得BF= BM， ∠MBN=∠EPN，从而可证得△BMN∽△PEN，由 和Rt△BNP中 即可求得 。