(2011?婺城区模拟)已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,D为AB边的中点,∠EDF=90°﹒现将∠EDF绕点D旋转,
(2011?婺城区模拟)已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,D为AB边的中点,∠EDF=90°﹒现将∠EDF绕点D旋转,它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线...
(2011?婺城区模拟)已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,D为AB边的中点,∠EDF=90°﹒现将∠EDF绕点D旋转,它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F(如图).当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于E时,S△ABC、S△DEF、S△CEF的数量关系是______;当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时,S△ABC、S△DEF、S△CEF的数量关系是______.
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(1)S△DEF+S△CEF=
S△ABC 仍然成立.
证明:当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于E时,连接CD.
∵Rt△ABC中,AC=BC,即△ABC为等腰直角三角形.
又∵D为AB边的中点,
∴CD=BD,∠ECD=∠FBD=45°,∠CDB=90°,
又∵∠EDF=90°,
∴∠EDF-∠CDF=∠CDB-∠CDF,即∠CDE=∠BDF,
在△CDE与△BDF中,
∵
,
∴△CDE≌△BDF,
∴S△CDE=S△BDF,
∴S△DEF+S△CEF=S△CDE+S△CDF=S△BDF+S△CDF=S△BCD=
S△ABC,
得证.
(2)当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时,
猜想 S△DEF+S△CEF=
S△ABC,
证明:连接CD,
同理易得△CDE≌△BDF,
∴S△CDE=S△BDF,
∴S△DEF+S△CEF=S四边形DECF=S△CDE+S△CDF=S△DBF+S△CDF=S△BCD,
又∵S△BCD=
S△ABC,
则S△DEF+S△CEF=
S△ABC.
故答案是:S△DEF+S△CEF=
S△ABC,S△DEF+S△CEF=
S△ABC.
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证明:当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于E时,连接CD.
∵Rt△ABC中,AC=BC,即△ABC为等腰直角三角形.
又∵D为AB边的中点,
∴CD=BD,∠ECD=∠FBD=45°,∠CDB=90°,
又∵∠EDF=90°,
∴∠EDF-∠CDF=∠CDB-∠CDF,即∠CDE=∠BDF,
在△CDE与△BDF中,
∵
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∴△CDE≌△BDF,
∴S△CDE=S△BDF,
∴S△DEF+S△CEF=S△CDE+S△CDF=S△BDF+S△CDF=S△BCD=
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得证.
(2)当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时,
猜想 S△DEF+S△CEF=
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证明:连接CD,
同理易得△CDE≌△BDF,
∴S△CDE=S△BDF,
∴S△DEF+S△CEF=S四边形DECF=S△CDE+S△CDF=S△DBF+S△CDF=S△BCD,
又∵S△BCD=
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则S△DEF+S△CEF=
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故答案是:S△DEF+S△CEF=
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