Question

已知函数f（x）=log2x+1x?1+log2（x-1）+log2（p-x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的

已知函数f（x）=log2x+1x?1+log2（x-1）+log2（p-x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

（1）由题意得：

x+1 x?1 ＞0 x?1＞0 p?x＞

，解得：1＜x＜p，
∴函数f（x）的定义域为（1，p）．
（2）①当

p?1 2 ＜1 p＞1

，即1＜p＜3时，t在（1，p）上单调减，g（p）＜t＜g（1），即0＜t＜2p-2，
∴f（x）＜1+log₂（p-1），函数f（x）的值域为（-∞，1+log₂（p-1））；
②当

1≤ p?1 2 ≤ p+1 2 p＞1

即p≥3时，g(p)＜t≤g(

p?1

2

)，即0＜t≤

(p+1)2

4

，
∴f（x）≤2log₂（p+1）-2，函数f（x）的值域为（-∞，2log₂（p+1）-2）．
综上：当1＜p＜3时，函数f（x）的值域为（-∞，1+log₂（p-1））；
当p≥3时，函数f（x）的值域为（-∞，2log₂（p+1）-2）