Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b+ca=2?cosB?cosCcosA，函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[0

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b+ca=2?cosB?cosCcosA，函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[0，π3]上单调递增，在[π3，2π3]上单调递减．（Ⅰ）求证：b+c=2a；（Ⅱ）若f（π9）=cosA，试判断△ABC的形状．

Answer 1

（Ⅰ）△ABC中，由

b+c

a

=

2?cosB?cosC

cosA

，∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA，
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=sin（A+B）+sin（A+C）=2sinA，
即sinC+sinB=2sinA，所以b+c=2a．
（Ⅱ）由题意可得，函数f（x）的周期为

4π

3

=

2π

ω

，∴ω=

3

2

．由f（

π

9

）=sin（

3

2

?

π

9

）=sin

π

6

=

1

2

=cosA，∴A=

π

3

．
由余弦定理可得cosA=

1

2

=

b2+c2?a2

2bc

，所以b²+c²-a²=bc因为b+c=2a，所以 b²+c²-(

b+c

2

)2=bc，
化简可得：b²+c²-2bc=0，所以b=c．
又A=

π

3

，所以△ABC为等边三角形．