Question

定义在R上的函数f（x），满足当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）?f（y），f（1

定义在R上的函数f（x），满足当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）?f（y），f（1）=2．（1）求f（0）的值；（2）求证：对任意x∈R，都有f（x）＞0；（3）解不等式f（3-2x）＞4．

Answer 1

（1）解：对任意x，y∈R，f（x+y）=f（x）?f（y）．
令x=y=0，得f（0）=f（0）?f（0），即f（0）=0或f（0）=1．
令y=0，得f（x）=f（x）?f（0），对任意x∈R成立，所以f（0）≠0，
因此f（0）=1．
（2）证明：对任意x∈R，有f（x）=f（

x

2

+

x

2

）=f（

x

2

）?f（

x

2

）=[f（

x

2

）]²≥0．
假设存在x₀∈R，使f（x₀）=0，
则对任意x＞0，有f（x）=f[（x-x₀）+x₀]=f（x-x₀）?f（x₀）=0．
这与已知x＞0时，f（x）＞1矛盾．
所以，对任意x∈R，均有f（x）＞0成立．
（3）解：令x=y=1有f（2）=f²（1）=4，
任取x₁，x2，x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，有f（x₂-x₁）＞1．
f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）＞f（x₁），
则f（x）在R上递增，
不等式f（3-2x）＞4即f（3-2x）＞f（2）．
即有3-2x＞2，即x＜

1

2

，
故不等式的解集为（-∞，

1

2

）．