设函数f(x)=x(ex-1)+ax2(Ⅰ)当a=-12时,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)≥0恒成立,
设函数f(x)=x(ex-1)+ax2(Ⅰ)当a=-12时,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围....
设函数f(x)=x(ex-1)+ax2(Ⅰ)当a=-12时,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
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(1)当a=?
时,f(x)=x(ex?1)?
x2,
f'(x)=(ex-1)+xex-x=(x+1)(ex-1)…(2分)
令f'(x)>0,得x<-1或x>0;
令f'(x)<0,得-1<x<0
所以f(x)的单增区间为(-∞,-1),(0,+∞);单减区间为(-1,0).…(5分)
(2)f(x)=x(ex-1)+ax2=x(ex-1+ax),
令g(x)=(ex-1+ax),x∈[0,+∞),
g'(x)=ex+a,g(0)=0…(7分)
当a≥-1时,g'(x)=ex+a>0,g(x)在[0,+∞)上为增函数,
而g(0)=0,从而当x≥0时,f(x)≥0恒成立.…(9分)
当a<-1时,令g'(x)=ex+a=0,得x=ln(-a).
当x∈(0,ln(-a))时,g'(x)<0,
g(x)在(0,ln(-a))上是减函数,
而g(0)=0,从而当x∈(0,ln(-a))时,g(x)<0,即f(x)<0
综上,a的取值范围是[-1,+∞)…(12分)
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f'(x)=(ex-1)+xex-x=(x+1)(ex-1)…(2分)
令f'(x)>0,得x<-1或x>0;
令f'(x)<0,得-1<x<0
所以f(x)的单增区间为(-∞,-1),(0,+∞);单减区间为(-1,0).…(5分)
(2)f(x)=x(ex-1)+ax2=x(ex-1+ax),
令g(x)=(ex-1+ax),x∈[0,+∞),
g'(x)=ex+a,g(0)=0…(7分)
当a≥-1时,g'(x)=ex+a>0,g(x)在[0,+∞)上为增函数,
而g(0)=0,从而当x≥0时,f(x)≥0恒成立.…(9分)
当a<-1时,令g'(x)=ex+a=0,得x=ln(-a).
当x∈(0,ln(-a))时,g'(x)<0,
g(x)在(0,ln(-a))上是减函数,
而g(0)=0,从而当x∈(0,ln(-a))时,g(x)<0,即f(x)<0
综上,a的取值范围是[-1,+∞)…(12分)
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